По пътя от идеята до доказателството

Как да научим учениците да търсят аргументи с помощта на кратки математически рутини

“Защо?” е един от най-кратките и същевременно един от най-трудните въпроси, които често чуваме в ежедневието. Понякога отговорът е очевиден, друг път изисква известна доза размисъл, а в някои ситуации можем само да гадаем какъв е правилният отговор.

“Защото….” в математиката традиционно затруднява по-голямата част от учениците. На всеки учител по математика се е случвало да получи отговори, които учениците не могат да обяснят. Това се дължи на факта, че процесът на предполагане, обобщаване и доказване изисква от тях гъвкаво мислене за математическите принципи и взаимовръзки. 

Доказателството включва поредица от дейности, използвани за осмисляне и установяване на математически принципи. Такива дейности например са: идентифициране на модели, правене на предположения, тестване на възможни решения, определяне на контра-аргументи и конструиране на доказателства. Търсенето на аргументи развива уменията на децата за разрешаване на проблеми, помага им да вникнат по-дълбоко в същността на математиката и приложенията й в реални ситуации от ежедневието.

В тази статия ще ви предложим няколко кратки рутини, които могат да помогнат на вашите ученици да развият уменията си да търсят аргументи и да защитават идеите си.

Кое колко струва?

Тази рутина представлява добро мисловно предизвикателство, изискващо работа с множество неизвестни. Учениците трябва да открият стойността на всеки от обектите в мрежата, ако знаят сбора на обектите във всеки ред и колона.

Учениците често блокират, когато работят върху математически казуси. Този тип задачи обаче предлага множество методи за решаване на проблема и има потенциал да пренасочи вниманието на учениците от негативните чувства към вълнението от осъзнаването, че има много различни подходи и начини да постигнат успех. Това помага на децата да развият по-устойчиво мислене, когато са изправени пред нови математически ситуации. Ето и кои са стъпките да включите тази рутина в часа:

• Проектирайте или начертайте на дъската мрежа, съдържаща комбинация от четири различни символа. Можете да усложните малко задачата като замените един от сборовете с въпросителен знак. По този начин учениците ще разполагат с по-малко информация за откриването на стойностите на обектите.

• Раздайте на по един работен лист на всеки ученик.
• Насърчете учениците да разгледат внимателно мрежата с обекти и да отбележат в работните листове своите наблюдения. В зависимост от това в коя част на мрежата ще се фокусират, те могат да открият различни зависимости между обектите.
• На база направените наблюдения учениците трябва да изберат подход, с помощта на който да разберат стойността на всеки от обектите.
• Предизвикайте учениците да потърсят и други възможни пътища за решаване на задачата.
• Посочете няколко ученици да запишат своите идеи на дъската, като обяснят защо използваният от тях метод е подходящ.
• Когато всички предложения са записани на дъската, учениците трябва да запишат в работните си листове кое от тях предлага най-бързо и лесно решаване на задачата. С какви аргументи и контрааргументи могат да защитят избора си?

Тази рутина е подходяща за изследване на уравнения с повече от едно неизвестно число. Позволява откриването на различни възможности за достигане на правилния отговор и генериране на различни аргументи и контрааргументи в подкрепа на избраната стратегия.

Цветна мозайка

Учениците трябва да открият определен модел, по който се променят размерите и пространствената ориентация на фигурите в предоставената им цветна мозайка. Те трябва да докажат своите предположения с помощта на математически формули.

• Представете на класа мозайка от различни по размери геометрични фигури.

• Обърнете внимание, че пространствената ориентация, цветът и големината на фигурите се променят в определен ред. Всеки ученик трябва да запише закономерностите, които забелязва.
• Дискутирайте направените наблюдения и запишете някои от тях на дъската.
• Следващата стъпка е всеки да опита да направи схема, която показва по какъв начин се променят фигурите от периферията към центъра на мозайката. Ето някои примерни въпроси, с които можете да насочите учениците:
• По какъв начин е създадена тази мозайка?
• Как може да бъде продължена последователността на фигурите към центъра на мозайката?
• Ако се приеме, че този процес може да продължи безкрайно, каква част от мозайката ще бъде оцветена в синьо?
• Какво е съотношението между площта на квадратчето в центъра и общата площ на мозайката? 
• Учениците трябва да представят аргументирано идеите си, с помощта на математически формули и операции.

В следващ етап предложете на учениците някоя от следните мозайки:

• Могат ли учениците да определят каква част от общата площ представлява всяка от петте най-големи сини фигури?
• Ако тези фракции се съберат, какво ще бъде съотношението им спрямо общата площ на мозайката?
• Ако се приеме, че този процес може да продължи безкрайно, каква част от мозайката ще бъде оцветена в синьо?

И тук учениците трябва да представят аргументирано идеите си, с помощта на математически формули и операции.

Тази рутина помага за по-доброто разбиране на обикновените дроби и извършваните с тях операции, както и затвърждаването на някои геометрични термини. Освен това помага на децата да търсят пространствени модели и закономерности, както и да визуализират своите аргументи.

Три от пет

В тази рутина учениците трябва да открият доказателство към твърдението, че ако вземем пет произволни числа, сборът на три от тях е число, кратно на три.

• Изберете няколко ученици, които последователно да запишат на дъската по една редица от пет произволни цели положителни числа. Можете да ограничите броя на цифрите в тях, в зависимост от класа, в който преподавате.
• Възложете на учениците да проверят дали във всяка от редиците има три числа, чийто сбор е кратен на три.
• Запишете възможните решения на дъската.
• Могат ли учениците да открият някаква закономерност? Запишете някои от идеите на дъската.
• Разделете класа в групи по двама. Дайте за задача да се редуват да измислят пет произволни числа и да търсят сбор, кратен на три.
• Потвърждават ли се записаните на дъската наблюдения?
• Възложете на учениците да потърсят пет числа, при които не може да се намери сбор, отговарящ на изискванията.
• Ако това не е възможно, могат ли учениците да установят формула, с която винаги да получават сбор, кратен на три, при избора на три от пет числа?
• Всяка група трябва да предложи доказателства към изследването твърдение.

Тази рутина предполага по-активна комуникация и сътрудничество между учениците, съвместно изследване на проблема, генериране и доказване на идеи.

Надяваме се предложените дейности да ви допаднат. Рутинното използване в часовете по математика на подобни кратки задачи за развиване на математическото мислене помага на учениците да изградят положително отношение към дисциплината, да защитават аргументирано идеите си и да развият важни умения за решаване на казуси от различно естество.

Защо не опитате и вие?

 

За статията е използван следния ресурс, който е допълнен с личния опит на автора:

Reasoning, Justifying, Convincing and Proof