Кратко въведение в математическото пророкуване 

Какво представлява математическото моделиране и как да запознаем учениците с него?

Несъмнено едно от най-вълнуващите приложения на математиката е предсказването на бъдещето. Тя стои в основата на създаването на най-различни прогнози от различни сфери на живота. На базата на задълбочен математически анализ на дългогодишни повтарящи се явления могат да бъдат изготвени модели за проявата на тези явления в бъдещето. Така например прогнозата за времето се определя въз основа на анализ на метеорологичните данни за десетки години назад във времето.

Математиката може да предсказва и най-различни други показатели, например:

• икономически – фирмени печалби, безработица, популярни стоки и услуги;
• социални – ръст на населението, заболеваемост, образованост;
• архитектурни – устойчивост на големи конструкции (мостове, небостъргачи) при различни природни явления;
• екологични – замърсяване на околната среда, устойчиво използване на ресурсите, енергийна ефективност.

В тази статия ще ви предложим няколко лесни рутини, с помощта на които да запознаете учениците с математическото моделиране и да поговорите за ползите му в практиката.

Вълшебната оранжерия на господин Георгиев

Господин Георгиев има три цветни лехи и една много необикновена оранжерия. Всяка нощ броят на поставените в нея растения се удвоява. Във всяка от трите лехи градинарят иска да посади един и същ брой цветя, като за един ден може да засади само една от лехите. Господин Георгиев купува няколко растения първия ден и ги поставя в оранжерията. През нощта техния брой се удвоява. На следващия ден той засажда част от тях в първата леха. Останалите растения удвояват броя си през нощта. На третия ден градинарят засажда растения във втората леха и отново незасадените растения се удвояват. Последния ден той посажда всички останали в оранжерията растения в третата леха.

• Възложете на учениците да предвидят колко растения трябва да постави господин Георгиев в оранжерията първия ден и по колко от тях трябва да засажда всеки следващ ден, за да има равен брой цветя в трите лехи.
• Насърчете учениците да потърсят повече от един варианти.
• Посочете няколко ученици, които да запишат своите решения на дъската.
• Могат ли учениците да открият прилики между различните подходи?
• Какъв е минималният брой растения, които градинарят трябва да посади, за да може да осъществи намерението си?

Година по-късно, господин Георгиев купува нова оранжерия, която всяка нощ утроява броя на поставените в нея растения.

• Възложете на учениците да предвидят колко растения трябва да постави господин Георгиев в оранжерията първия ден и по колко от тях трябва да засажда всеки следващ ден, за да има равен брой цветя в трите лехи. Какъв е минималния брой растения, които градинарят трябва да закупи в този случай?
• Могат ли учениците да открият прилики между моделите на засаждане, използвани при двата вида оранжерии?
• Ще се затвърди ли моделът на засаждане, ако всяка нощ броят на растенията се увеличава 4, 5, 6 или повече пъти?

Господин Георгиев се оказва много успешен градинар и решава да увеличи общия брой на цветните лехи, които засажда. Все още обаче успява да обработва само по една леха дневно.

• Насърчете учениците да проверят дали откритите закономерности са приложими, ако броят на лехите е 4, 5 или по-голям.
• Може ли да се направи обобщен модел, с чиято помощ да се предвиди броят на необходимите растения във всеки от разгледаните казуси?

Освен вълшебната оранжерия, градинарят разполага и с една по-стара, съвсем обикновена оранжерия. За съжаление, растенията в нея са нападнати от много зъл листояден плужек, който всяка нощ изяжда половината от цветята в оранжерията.

• Колко растения трябва да постави господин Георгиев в оранжерията първия ден и по колко от тях трябва да засажда всеки следващ ден, за да има равен брой цветя в лехите.
• Може ли установеният вече модел да бъде приложен в този случай?

Тази задача предлага множество възможности за изследване и анализиране на изходните данни, предполагане, тестване на различни варианти, изготвяне на модели и прилагането им в различни ситуации. Също така е подходяща за работа в малки групи, тъй като дава възможност за сътрудничество и активна комуникация между учениците.

В какъв ден съм роден?

Проследяването на времето в дни, седмици, месеци и години се подчинява на определени правила. Тези правила са обвързани с дългогодишно изследване на движението и височината на слънцето и свързаните с тях природни явления. На базата на установените закономерности, учениците трябва да открият модел, с помощта на който да открият какъв ден от седмицата е бил денят, в който са родени.

• Разделете учениците в групи по двама. Всеки екип трябва да отбележи закономерностите, които използваме за измерване на времето.
• Всяка от групите трябва да запише на дъската една от своите идеи.
• Дискутирайте записаните закономерности и обърнете внимание на тези от тях, които ще бъдат необходими на учениците за решаването на задачата, например:
• броят на дните в годината;
• броят на дните в различните месеци;
• броят на дните в седмицата;
• какво се променя през високосните години.
• Възложете на учениците да открият през коя година 1-ви юли ще бъде отново в неделя, ако е известно, че тази дата е била в неделя през 2001 година, в понеделник – през 2002 г., във вторник – през 2003 г. и отново във вторник – през 2004 г., която е била високосна.
• Ако първи септември е бил в понеделник през 2003 г., могат ли учениците да се досетят през коя година тази дата отново ще бъде в понеделник?
• Всеки от екипите трябва да изготви модел, с помощта на който лесно да може да се определи в кой ден от седмицата се е родил всеки ученик.
• Може ли с помощта на този модел да се определи в какъв ден от седмицата ще бъде рожденият ден след 13 години? А след 18, 23, 32, 41 или 55 години?
• Възложете на учениците да определят какъв ден от седмицата ще бъде след 15 дни, 61 дни или 182 дни. Всеки екип трябва да предложи модел за решаване на задачата.

Тази лесна и доста приятна рутина предлага възможност за изследване на познати закономерности и създаване на лесни за пресмятане модели. Освен това активно ангажира учениците, тъй като зададения казус е пряко обвързан с всеки от тях.

Трик с карти

За тази рутина ще имате нужда от няколко тестета карти за игра – по едно за всяка група. Следвайки определен алгоритъм можете винаги да предскажете каква карта ще се падне накрая. Учениците трябва да разберат какъв математически модел е използван в този трик.

• Разделете учениците в групи по четирима и дайте на всеки екип по едно пълно тесте с карти за игра (с 52 карти).
• Направете пред класа демонстрация на трика с карти, като следвате тази последователност от стъпки:
• Помолете произволен ученик да разбърка тестето с карти;
• Обърнете една върху друга първите 26 карти;
• Обърнете получената купчинка с лицето надолу и я поставете отдолу под неизползваните карти;
• Вземете най-горните три карти и ги поставете на масата една до друга с лицето нагоре;
• В зависимост от стойността на картите, добавете необходимия брой карти върху тях, така че да се получи числото 10. Например, ако сте отворили картите 4, дама и асо, върху четворката трябва да добавите 6  карти с лицето надолу, върху асото – 9 карти, а върху дамата – нито една (картите 10, вале, дама и поп вече имат стойности над 10);
• Пресметнете стойностите на трите отворени карти. В посочения пример общата стойност е 4 + 1 + 10 = 15;
• Вземете тестето и покажете на учениците коя е петнадесетата карта, като преди да я обърнете, предскажете нейната стойност. Ако сте изпълнили точно всички инструкции, накрая винаги излиза седмата карта от обърнатите в началото на трика.
• Не разкривайте пред учениците как сте направили номера!
•  Учениците във всеки екип трябва да се редуват да изпълнят трика и заедно да установят модела за предсказване на крайната карта.
• Насърчете учениците да записват всички наблюдения и открития, които са направили.
• Посочете по един представител от всяка група, който да запише на дъската идеите на екипа.
• Наблюдават ли се прилики в подходите на отделните групи? Допълват ли се направените наблюдения? Могат ли всички заедно да достигнат до общ модел за решаване на казуса?
• В следващ етап можете да разгледате други подобни трикове с карти, които се основават на използването на математически модели.

Всеизвестно е, че фокусите са много харесвани от повечето деца, заради вроденото им любопитство към неизвестното. Освен това те обичат трикове, с които могат да впечатлят своите приятели. Това прави рутината изключително приятна и интересна за учениците. 

Математическото моделиране е широко приложимо във всички сфери на живота, затова запознаването на децата с него още от училищна възраст повлиява върху желанието им да развиват своите математически умения. Същевременно работата по подобни задачи насърчава аналитичното и критичното мислене на учениците, тяхната наблюдателност и упоритост. И всичко това – в условията на сътрудничество, активна комуникация и забавление.

Убедихме ли ви да опитате?

За статията са използвани следните ресурси, които са допълнени с личния опит на автора:

Mathematical Modelling

Mathematical Models