Визуализацията като средство за развиване на математическо мислене

Рутинни задачи за визуализиране на математически казуси

Винаги, когато се сблъскваме с някакъв проблем, ние си го представяме, за да го осмислим по-добре. Така можем по-лесно да предвидим различните сценарии за развитие на казуса, следващи от решенията, които взимаме. Аналогично и при решаването на задачи по математика понякога имаме нужда да визуализираме, за да представим анализираните данни и откритите зависимости между тях.

И това не важи само за задачите по геометрия! Визуализацията стои в основата на човешкото разбиране и справянето с проблемите. От тук навярно произлиза и крилатата фраза: “If you can dream it, you can do it.“ ( в превод – “Ако можеш да си го представиш, можеш и да го направиш.“).

На практика математиката е трудна за някои ученици, защото не успяват да си представят описаните в задачите казуси. Така от отражение на реални житейски ситуации, задачите се превръщат в непонятни и объркващи комбинации от цифри и символи.

Как да насърчим, оценим и развием визуализирането на математическите проблеми в класната стая?

Често свързваме визуализирането в математиката с рисуването на схеми и чертежи, които са отправна точка за решаването на определена задача. Всъщност то играе много по-голяма роля в решаването на проблемите  като организира и развива идеите, улеснява разбирането и достигането до крайния резултат. Или ако трябва да обобщим, визуализацията има три основни цели:

• запознаване с проблема;
• създаване на модел;
• планиране на стратегия за решаване на проблема.

Докато първата цел е ориентирана към въвеждане в проблема, следващите две предполагат използването на визуализацията за по-дълбоко вникване в материята, за осмисляне и търсене на възможни пътища, анализиране на възможностите и избор на най-добър отговор.

Развиването на уменията за визуализиране на различните казуси можете да постигнете по лесен и забавен начин, като използвате кратки математически рутини.

Запознаване с проблема

Визуализирането дава възможност на учениците да разберат за какво става въпрос – да разбират правилно предоставената информация и същността на проблема, да определят каква информация липсва и как могат да я открият. Колкото по-точно успеят да визуализират проблема, толкова по-лесно ще достигнат до верния отговор.

Една навън, една отдолу

Избрахме да ви представим като пример математическата задача с тестето карти. Тази кратка рутина изисква от  учениците да си представят ситуацията, преди започнат да търсят решение.

Едно тесте карти е съставено от 20 карти, подредени във възходящ ред (най-отгоре е карта с цифрата 1, а най-отдолу – с цифрата 20). При раздаването на картите първата излиза от тестето, втората отива най-отдолу, третата излиза, четвъртата отива най-отдолу и т.н.

• Учениците трябва да определят коя ще бъде последната карта, останала в тестето.
• Ако тестето съдържа различен брой карти (например 100, 350, 1000), може ли да бъде намерен модел, с помощта на който да се изчисли коя ще бъде последната карта, независимо от броя на картите?

Насърчете учениците да си представят тестето с карти, подредени по указания начин. Да поставят мислено навън първата карта и да преместят следващата най-отдолу.

• Попитайте учениците коя карта е най-отгоре.
• Повторете упражнението от там, докъдето сте стигнали, като този път помолете учениците да преместят най-горните четири карти, спазвайки същия алгоритъм.
• Попитайте учениците коя карта е най-отгоре този път.
• Опитайте отново, като този път преместете най-горните шест, седем, осем карти.

Моделирайте процеса в зависимост от разбирането на учениците. Променяйте броя на картите и повтаряйте упражнението, докато учениците започнат да предсказват уверено коя е най-горната карта.

Учениците са въведени в контекста на задачата с лесен пример, което им помага по-добре да разберат проблема. Докато обяснявате какво се случва, те си представят процеса и опитват да опишат какво ще се случи след това. Тази рутина насърчава децата да осмислят казуса чрез визуализирането му, дава им възможност да се фокусират върху този процес, мотивира ги да използват метода и да реагират своевременно.

Създаване на модел

Рутините за визуализиране, които имат за цел учениците да си представят обекти и да създават техни модели, са изключително полезни при разглеждането на триизмерни обекти или изследването на много големи числа.

Кубчета в кубчета

Математическата рутина с цветните кубчета е нашето предложение за примерна задача от този тип. Учениците разполагат с неограничен брой кубчета с еднакви размери, налични в 10 различни цвята. Представяйки си подреждането на отделните цветове, децата трябва да пресметнат колко кубчета изграждат всеки от слоевете, обграждащи централното кубче:

• Всеки ученик трябва да си представи, че разполага с едно жълто кубче, около което иска да подреди плътен слой от червени кубчета.
• Насърчете учениците да определят колко червени кубчета са необходими. Колко от тях се допират до жълтото кубче с цялата си страна? Колко кубчета се допират само с ръбовете си и колко – само с върховете?
• Учениците могат да използват различни схеми и модели, за да опишат идеите си.
• Разделете учениците в групи по 3-4 ученици. Дискутирайки различните предложения, всяка група трябва да запише на дъската и да обясни пред класа своя модел за решаване на задачата.
• Възложете на учениците да проверят колко сини кубчета ще бъдат необходими, за да образуват плътен слой около червения куб, и как ще бъдат разположени спрямо него.
• Покрийте синия куб със зелени кубчета и отново направете същите изчисления.
• Какви закономерности могат да посочат учениците? Запишете някои от идеите на дъската.
• Проверете дали наблюденията ще се потвърдят, като добавите нови слоеве от кубчета – черен, кафяв, бял, оранжев, розов и лилав.
• Учениците трябва да определят модел, който най-точно описва изграждането на всеки следващ слой на куба.

В следващ етап можете да използвате направените изчисления и изведените закономерности, за да определите колко на брой и колко големи кубчета могат да бъдат направени от всеки цвят с минимален остатък.

• В какъв цвят ще бъде най-големият квадрат в този случай?
• При кой от цветовете не остава нито едно неизползвано кубче?
• Кой цвят е превърнат в най-голям брой кубчета (включително неизползваните)?

Тази рутина е пример за това как не е възможно да бъде видяна сърцевината на фигурата, но учениците могат да проследят мислено изграждането ѝ. По този начин те са насърчени да проследяват отделните етапи, след което да използват визуализацията за справяне с основния казус.

Паниране на стратегия за решаване на проблема

Това включва използване на визуализация по време на процеса на решаване на проблеми за предвиждане на резултата при използване на едно или друго решение. Или иначе казано, визуалното представяне на проблема, помага по-лесно да разберем отговора на въпроса: “Какво ще стане, ако…..?”.

Скокливи жабки

Развиването на стратегическото мислене на учениците става лесно и забавно, когато включите нужната доза визуализация. Математическата рутина със скачащите жаби е чудесен пример, с който можете да започнете.

• Учениците трябва да си представят, че се намират на брега на блато, в което има водни лилии. Върху две от листата ѝ се препичат на слънце две сини жабки, а върху други две листа си почиват две розови жабки. По средата между тях има празно листо.

• Възложете на учениците да намерят начин да разменят местата на жабите, като знаят, че всяка от тях може да скача на съседни празни листа или да прескача само по едно заето листо.
• Колко хода са необходими за смяната на местата на жабите?
• Възложете на учениците да експериментират с различен брой жаби (2 х 3, 2 х 4, 2 х 7). Винаги ли е възможно да сменят местата на животните, без да се налага някое от тях да се връща назад?
• Могат ли учениците да изготвят модел, с помощта на който да предвиждат броя на ходовете, необходими за осъществяване на размяната?
• Запишете на дъската някои от генерираните идеи.
• Тествайте моделите с по-голям брой еднакви жаби, например 24, 53 или 100. Потвърждават ли се наблюдаваните закономерности?
• Какво ще стане, ако броят на двата вида жаби не е равен? Как ще се видоизмени моделът?

За да предвидят какво ще стане при взимането на едно или друго решение, учениците първо трябва да осмислят идеята, че има повече от една възможности за решаване на казуса. Визуализирайки различните опции, те разбират по-добре цялостната картина, анализират възможните проблеми и решения.

Използването на рутинни задачи за визуализиране на математически казуси помага на учениците да разбират по-добре същността на проблемите, да развиват своята наблюдателност и стратегическото си мислене. Освен това използването на кратки математически рутини помага за създаването на по-благоприятна, безопасна среда, в която учениците си сътрудничат и подкрепят.

Не се колебайте да опитате и вие!

За статията са използвани следните ресурси, които са допълнени с личния опит на автора:

Thinking Through, and By, Visualising

Visualising