ПБО по математика за 9. - 12. клас
Тригонометрията отдавна е известна като “кошмарът на всеки гимназист”. Този дял от математиката е труден за разбиране и учениците често не успяват да направят връзка между теоретичните познания и приложението им в реалния живот. Така гимназиалният курс се превръща в своебразно мъчение както за учениците, така и за учителите по математика. Свидетелство за това са и множеството вицове от типа “cos60+sin90+(sin120*tg30)(ctg90+cos380)= …... благодаря на госпожа Петрова... това много ни помогна в живота”, които всички сме чували.
Всъщност тригонометрията има много широко приложение в реалния живот и стои в основата на множество изобретения, теории и казуси от ежедневието. Използва се в различни професионални направления като архитектура, астрономия, физика, инженерни науки, криминалистика, навигация.
Как е възникнала тригонометрията и защо е било нужно нейното използване?
Според Морис Клайн, автор на книгата “Математическата мисъл от древността до новото време”, тригонометрията е възникнала във връзка с астрономията и нуждите на древните народи, свързани с навигацията и създаването на календара. Нейните основи могат да бъдат проследени до цивилизациите в древен Египет, Месопотамия и Индия преди повече от 4000 години.
Макар заслугите на тригонометрията да са безспорни за учените и специалистите в различни области, тя все още остава скучна и безполезна за учениците.
В тази статия ще ви представим ПБО по математика, с което можете да предложите на вашите ученици един по-различен поглед върху тригонометрията и приложението ѝ в реалния живот.
Същност на проекта
В това ПБО по математика учениците влизат в ролята на корабни капитани и навигатори. Работят в групи по четирима. Всеки екип започва плаването си от различна точка на земното кълбо и следва определен маршрут, наситен с различни препятствия. Целта е да достигне до местоположението на потъналия испански галеон “Сан Хосе”, за който се твърди, че е превозвал злато, сребро и скъпоценни камъни, които днес биха стрували около 20 милиарда щатски долара. Предполага се, че “Сан Хосе” се намира близо до островите Росарио – тропически архипелаг и национален парк на около 40 км от Картахена.
С помощта на тригонометрията учениците ще трябва да определят географското положение на корабите си, разстоянието до островните брегове и до другите кораби, както и дълбочината, на която се намира потъналият кораб “Сан Хосе”.
За провеждането на това ПБО по математика ще имате нужда от 5 учебни часа, като можете да комбинирате някои от тях с колегата по география.
Безплатен бюлетин с ресурси
Запиши се, за да получаваш всяка седмица практични ресурси и идеи
Необходими материали
- Транспортир - по един за всеки ученик;
- Тиксо - по едно за всеки екип;
- Сламка с диаметър 10 mm - по една за всеки ученик;
- Конец/корда с дължина около 20 cm - по един/а за всеки ученик;
- Гайка - по една за всеки ученик;
- Морски алманах - по един за всеки екип;
- Писмо в бутилка - по едно за всеки екип;
- Работен лист за тригонометрията - по един за всеки ученик;
- Формуляр за проследяване на процеса - по един за всеки ученик;
- Технологична карта за изработване на секстант - по една за всеки екип;
- Ръководство за употреба на секстант в открито море - по едно за всеки екип;
- Географска карта - по една за всеки екип;
- Работни листове “Корабен дневник” - по четири за всеки екип;
- Лепящи листчета - по 1 за всеки ученик;
- Данни за попълване на корабните дневници - за учителя;
- Работен лист за самооценка на представянето - по един за всеки ученик.
Теоретична постановка
Най-просто казано тригонометрия означава пресмятания с триъгълници. Това е наука за математическите взаимовръзки между дължините, височините и ъглите в различните триъгълници.
Моряците и морските биолози често използват тригонометрията в своята работа за различни измервания, например за определяне на дълбочината, до която проникват слънчевите лъчи и океанските организми са способни да осъществяват процеса фотосинтеза. Тригонометрията се използва от корабните навигатори за определяне на ъгловата височина на небесните тела (Слънцето и звездите), което им помага да определят географското местоположение на кораба.
Тригонометрията е използвана в навигацията в продължение на много години със специално създаден за това инструмент, наречен секстант. С него разстоянието може да бъде измерено чрез триангулиране със Слънцето или звездите.
Секстантът измерва ъгловата височина на Слънцето (или звезда, която може да служи като отправна точка) над хоризонта. С помощта на измерения ъгъл може да се определи географската ширина, на която се намира плавателния съд. На обяд (12:00 ч. по местното стандартно време) се измерва надморската височина на Слънцето. Тази височина ще варира в зависимост от географска ширина и сезона. Това налага в изчисленията да бъдат направени корекции за слънчевото отклонение, които могат да бъдат намерени в специални таблици от морския алманах. Например измерили сме със секстанта ъгъл между Слънцето и хоризонта, равен на 68 градуса. Изваждаме измерения ъгъл от 90 градуса и получаваме резултат 22 градуса. От морския алманах намираме, че отклонението на Слънцето е 23 градуса и 21 минути. Ако при измерването със секстанта сме гледали в южна посока, значи се намираме в северното полукълбо и трябва да добавим отклонението към нашето измерване (22 градуса + 23 градуса и 21 минути). Така получаваме 45 градуса и 21 минути северна географска ширина. Ако при измерването със секстанта сме гледали в северна посока, значи се намираме в южното полукълбо и трябва да извадим отклонението от нашето измерване (21 градуса и 60 минути - 23 градуса и 21 минути). Така получаваме - 1 градус и 61 минути или 2 градуса и 1 минута южна географска ширина.
Географската дължина, на която се намира корабът, може да се изчисли с помощта на хронометър. Това е устройство, което показва показва часа по главния меридиан (Гринуичкия меридиан). Изчислява се разликата между времето, което показва хронометърът и местното време. Местното време се определя с помощта на секстанта. Получената разлика показва географската дължина, на която се намира корабът. Всеки час разлика се равнява на 15 градуса, а всяка минута - на 0,25 градуса. Така ако местното време е 12 ч., а хронометърът показва 10:30 ч., разликата ще бъде -1 час и 30 минути. Това се равнява на 15 градуса + 7,5 градуса или 15 градуса + 7 градуса и 30 минути, което прави 22 градуса и 30 минути източна географска дължина.
Секстантът може да се използва и за измерване на разстоянието до брега или до друго плавателно средство, ако са известни две точки на брега или острова. Например ако се знае височината на фара или друг обект на брега (планински връх, висока сграда), може лесно да се определи разстоянието до брега с помощта на секстанта. Разстоянието до друг кораб може да се изчисли аналогично, като се използва височината на кораба или на мачтата му.
Дълбочината на водоема също може да се изчисли с помощта на тригонометрията. За целта се използват устройства, наречени сонари. Те работят на принципа на ехолокацията - изпращат импулси от звукови вълни през водата и засичат колко време е необходимо, за да може звуковата вълна да се придвижи надолу, да се отрази от обект и след това да се върне обратно. Същата система за ехолокация използват прилепите и делфините. Тази информация дава възможност на устройството да прецени дълбочината на отразения обект. Звукът се движи под формата на вълни, а не прави линии, и тези вълни се разширяват в конуси, ставащи все по широки в дълбочина. С няколко прости тригонометрични пресмятания може да се изчисли местоположението на различни обекти на океанското дъно.
Какво трябва да знаят учениците?
Преди началото на проекта е необходимо учениците да са усвоили следните знания и умения:
- да познават основните елементи на триъгълника - катети, ъгли, хипотенуза, височина;
- да имат понятие за географска ширина и географска дължина;
- да могат да определят местоположението на обект на картата по зададени географски координати;
- да могат да извършват операции с обикновени и десетични дроби.
Ход на проекта
Преди началото на проекта разделете учениците в групи по трима или четирима. Уверете се, че всички екипи имат равни шансове да се справят с поставените задачи. Всеки екип следва да носи името на прочут мореплавател. За да стане по-разнообразен проектът, учениците трябва да направят проучване за своя капитан, което да запишат в корабния дневник. Ето някои имена, които можете да използвате:
- Жан-Батист Шарл Буве де Лозие, Христофор Колумб, Хуан Понсе де Леон, Фернандо Магелан, Франсиско Писаро, Александър Маккензи, Георги Георгиев, Николай Джамбазов.
В историята на корабоплаването има и множество прочути кораби, чиито имена също можете да използвате за екипите:
- Ла Ниня, Санта Мария, Индевър, Ентърпраиз, Виктори.
Раздайте на всяка група първата страница от корабния дневник. На нея учениците трябва да запишат името на своя екип, както и някои любопитни факти за постиженията на своя патрон или кораб.
Въведение
За този етап от проекта ще имате нужда от 1 учебен час. Учениците трябва да се запознаят с целите на проекта и основните изисквания към работата им. След това трябва да разгледат устройството на секстанта, който мореплавателите използват, за да определят географските си координати. С подръчни материали екипите трябва да изработят собствени секстанти и да измерят с тях ъгловата височина на различни обекти в близост - сгради, дървета, електрически стълбове.
- Раздайте на всеки екип по едно писмо в бутилка, в което те ще открият какви са основните им задачи по време на проекта, както и какви знания ще им бъдат необходими, за да се справят.
- Раздайте на всеки екип по един формуляр за проследяване на процеса. В него учениците трябва да запишат всичко, което им се е сторило важно от полученото писмо, както и въпросите, които са им хрумнали.
- Първата задача на екипите е да открият стартовата точка, от която започват своето пътешествие. Единствената информация, с която разполагат, е измерен със секстант ъгъл. За да разберат как работи секстантът, учениците трябва да изработят такъв инструмент с помощта на транспортир, тиксо, сламка, въженце и гайка. Раздайте на всеки екип по една технологична карта за изработване на секстант.
- Излезте с учениците навън и направете демонстрация как с помощта на устройството може да се измери ъгловата височина на дърво или сграда - това е ъгълът, който върхът на дървото/сградата сключва с хоризонта. Обяснете на учениците, че мореплавателите използват същия метод, за да определят височината на Слънцето над хоризонта, а това им показва на каква географска ширина се намират. Всеки ученик трябва да измери ъгловата височина на поне 2 обекта. По време на измерването учениците трябва да застанат на 20 метра разстояние от измервания обект. С помощта на измерения ъгъл и отстоянието от дървото в следващия етап от проекта учениците ще могат да изчислят каква е височината на измерените обекти.
Проучване
След края на първия етап учениците вероятно ще бъдат озадачени по какъв начин измерения със секстанта ъгъл ще им помогне да определят височината на обектите. Още по-неясно ще бъде как един ъгъл може да определи географската ширина на даден обект. За този етап от проекта ще имате нужда от 1,5 часа.
- Как да използваме измерения ъгъл, за да определим реалната височина на дървото/сградата? На този въпрос учениците трябва да успеят да отговорят сами, след като проучат внимателно основните тригонометрични функции. Представете кратък урок за основните тригонометрични функции пред класа, като внимавате да не включвате като пример направените измервания. Оставете време на учениците да направят допълнителни проучвания в интернет, обучителни приложения и платформи. Следете процеса и оказвайте подкрепа на учениците, които имат въпроси.
- Раздайте на всеки екип по един работен лист за тригонометрията. В него те трябва да запишат основните принципи на тригонометрията, както и въпросите, които са им останали неясни. Освен това трябва да запишат направените измервания и да изчислят височините на изследваните обекти. С помощта на измерения ъгъл и отстоянието от обектите, височината им може да бъде лесно пресметната с тригонометричните формули. Към получения резултат учениците трябва да добавят 1,5 метра, защото измерването се прави на нивото на очите.
- След като учениците са разбрали как работи секстантът и как с негова помощ могат да се изчисляват височини на различни обекти, трябва да опитат да определят географските координати на стартовата точка, от която тръгва техният кораб. Раздайте на екипажите втората страница от корабния дневник. На практика разстоянието на кораба до Екватора може да се пресметне по същия начин като измерените обекти, с тази разлика, че разстоянията са огромни и работата с толкова големи числа е трудна. Допълнително затруднение е различната отдалеченост на Слънцето от Земята в различните месеци и сезони. За улеснение на мореплавателите са съставени таблици в морския алманах, с помощта на които може лесно да се определи географската ширина на кораба, ако е измерена ъгловата височина на Слънцето. Раздайте на всеки екип по едно ръководство за употреба на секстант в открито море, по една страница от морския алманах и по една географска карта на света.
- В ръководството учениците ще научат как да използват ъгловата височина на Слънцето и морския алманах, за да определят географската ширина на корабите си. На базата на разликата между местния час и времето по Гринуичкия меридиан, екипите ще могат да определят и географската дължина.
- С вече изчислените географски координати, учениците трябва да отбележат върху картата стартовото местоположение на корабите си.
- Във формуляра за проследяване на процеса учениците трябва да запишат отговорите на поставените въпроси, както и всякакви нови въпроси, които са им хрумнали в процеса на проучване.
В тази част от проекта можете да организирате интердисциплинарен урок в партньорство с колегата по география. Основните знания и умения по география, от които учениците ще имат нужда по време на проекта, са определянето на географски координати, разположението на континентите и океаните.
Плаване
Следващата част от проекта включва морското пътешествие. Всички екипи тръгват от различни пристанища в различни краища на света и трябва да достигнат до една крайна точка - островите Росарио в Карибско море. По пътя мореплавателите трябва да решат няколко задачи, които ще им помогнат да определят разстоянието до брега и дълбочината на потъналия кораб “Сан Хосе”. Разгледайте примерните данни за попълване на корабния дневник на всяка от групите. В зависимост от класа, в който преподавате, и нуждите на учениците ви, можете да промените зададените стойности. За този етап от проекта ще имате нужда от 2 учебни часа.
- Раздайте на учениците третата страница от корабния дневник. На нея те трябва да запишат маршрута, по който плават и мястото, на което екипажът трябва да спре за провизии. Плаването трябва да бъде отбелязано и върху географската карта.
- Екипажите получават съобщение от сушата, че има опасни плитчини на 3 км от бреговата линия и корабите трябва да се придържат на по-голямо разстояние до достигане на зоната на пристанището. Корабните навигатори измерват ъгловата височина на познати обекти на сушата. С помощта на тази информация, учениците трябва да изчислят дали корабите им се намират достатъчно далеч от сушата. Резултатите от изчисленията трябва да бъдат записани в корабния дневник.
- Можете да възложите на учениците си да отбележат интересни факти за местата, които посещават по време на експедицията. Това ще направи проекта още по-реален и богат.
- Раздайте на учениците четвъртата страница от корабния дневник. Пътуването продължава до следващата спирка по пътя към Карибско море. На хоризонта им две подходящи места за спиране и екипажите трябва да определят кое от тях се намира по-близо. Учениците имат информация за разстоянието между двата града/острова. Със секстанта могат да измерят и ъгъла, който те сключват с кораба. Трите обекта са така разположени, че не формират правоъгълен триъгълник. Следователно, за да използват тригонометричните формули, учениците ще трябва първо да построят височина. Така ще се образуват два правоъгълни триъгълника, чиито хипотенузи се явяват разстоянията до двата града/острова.
- Изминатият маршрут, избраното място за почивка и направените изчисления трябва да бъдат записани в корабния дневник и отразени върху географската карта.
- Раздайте на учениците петата страница от корабния дневник. Последната спирка по маршрута са островите Росарио, близо до град Картахена, в Карибско море. Тук се твърди, че е потънал испанският галеон “Сан Хосе”, който е превозвал злато, сребро и скъпоценни камъни. Корабите на екипажите разполагат със сонар, който може да даде информация за обекти, намиращи се на морското дъно. Вълните на сонара се разпространяват конусовидно към дъното и при сблъсък с обекти се отразяват обратно към кораба. Засечени са няколко големи обекта, които се намират под различни ъгли спрямо кораба и на различна дълбочина. Вероятно потъналият “Сан Хосе” е обектът, който се намира на най-голяма дълбочина. Поради смущения в сигнала, апаратурата не може да определи дълбочината, на която се намират обектите. Учениците трябва да я изчислят, като знаят ъглите, които обектите сключват с кораба, и лицето на околната повърхнина В на изследваната конусовидна площ. Дълбочината се явява височината на конуса h, а разстоянието до обекта е образуващата на конуса s. От формулата за лице на околната повърхнина на конус учениците могат лесно да пресметнат произведението на радиуса и образуващата на конуса, които се явяват катет и хипотенуза в правоъгълен триъгълник. Учениците знаят два от ъглите на този триъгълник, следователно няма да им бъде трудно да пресметнат височината на конуса (дълбочината, на която се намират обектите).
- Изминатият маршрут, крайната дестинация и направените изчисления и изводи учениците трябва да запишат в корабния си дневник и отразени върху географската карта.
Дискусия
В края на проекта всеки от екипажите трябва да представи пътешествието си пред класа, да опише какво го е впечатлило най-много и какво го е затруднило. След това организирайте дискусия с учениците за приложенията на тригонометрията в реалния живот. Раздайте на всеки ученик по едно лепящо листче, върху което трябва да бъде записан пример от ежедневния живот, в който знанията по тригонометрия могат да бъдат използвани. Пригответе постер, върху който учениците да залепят листчетата си.
Обратна връзка
В края на проекта помолете всеки ученик да си направи самооценка, според скалата за успеваемост, която можете да изтеглите от ТУК.
За статията са използвани следните ресурси, които са допълнени с личния опит на автора:
Real life applications of trigonometry | Mathnasium
Real life Applications of Trigonometry, Formulas, Examples
Trig River - Activity - TeachEngineering
Using Sextants for Applications in Trigonometry
What Is A Sextant Used For? – Casual Navigation
